Matematika Diskrit

Apasih MATEMATIKA DISKRIT Itu?

Matematika diskrit atau diskret adalah cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan (lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit - seperti bilangan bulat, graf, atau kalimat logika - tidak berubah secara kontinyu, namun memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi, rekursif, teori graf, dan lain-lain. Matematika diskrit merupakan mata kuliah utama dan dasar untuk bidang ilmu komputer atau informatika.

Matematika Diskrit juga mempelajari Fungsi, Gabungan, Inversi, dan Khusus.

1. Fungsi

Fungsi dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

2. Gabungan

Gabungan dalam teori himpunan merupakan operasi penggabungan dua himpunan, sehingga menghasilkan himpunan baru yang berisi anggota-anggota kedua himpunan awal. Operasi penggabungan himpunan (union dalam bahasa Inggris) dilambangkan dengan tanda.

.

Anggota-anggota adalah semua anggota baik yang ada di A maupun yang ada di B. Anggota yang sama hanya ditulis satu kali. Apabila dituliskan dalam notasi matematika, definisi tersebut adalah

Contoh :

 
 
maka

 

3. Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1(x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

Pertama

Ubah persamaan y =  f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga

Ubah y menjadi x [f^-1(y) menjadi f^-1(x)]

Contoh Soal:

4. Fungsi Khusus

Fungsi khusus terbagi menjadi 4 fungsi, yaitu Fungsi Floor dan Ceiling, Fungsi Modulo, Fungsi Faktorial, dan fungsi Eksponen dan Logaritmik.

• Fungsi Floor dan Ceiling

a. Fungsi Floor (Batas Bawah)
Batas bawah dari x adalah bilangan bulat terbesar yang kecil atau sama dengan x.

Notasi : 

             ë û

Contoh: ë8.3û   = 8

           ë-8.7û = 9

b. Fungsi Ceiling (Batas Atas)

Batas atas dari x adalah bilangan bulat terkecil yang besar atau sama dengan x.

Notasi :

            é ù

Contoh :

            é6ù = 6             é-11.3ù = -11

• Fungsi Modulo

Jika x adalah bilangan bulat tak negatif dan y adalah bilangan bulat positif, didefinisikan xmod y sebagai sisa jika x dibagi y.

Contoh :

1. 6 mod 2 = 0

2. 5 mod 1 = 0

3. 8 mod 12 = 8

• Fungsi Faktorial

Untuk sembarang bilangan bulat tidak negatif n. Dilambangkan dengan bilangan : n!

Contoh:

0! = 1

1! = 1

5! = 1x2x3x4x5 = 5x4x3x2x1 = 120

• Fungsi Eksponensial dan Logaritmik.

a. Fungsi Eksponensial

Berbentuk:

1 , n = 0

 aⁿ = 

a x a x … x a, n > 0 

Untuk kasus perpangkatan negatif, contoh:

4³ = 4 x 4 x 4 = 64 

4^-3 = 1/64

b. Fungsi Logaritmik

Berbentuk:

Contoh:

⁴log 64 = 3 karena 64 = 4³

ë ²log 1000û = 9 karena 2⁹ = 512 tetapi 2¹⁰ = 1024